Perso i primi 20 minuti di lezione


il campo all'esterno della sfera vale
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r}) =_{r>R} \vec{E}_0 + 3 \frac{(\vec{P} \cdot \hat{r})
 \hat{r} - \vec{P}}{4 \pi \epsilon_0 r^3}
\end{equation}


Seconda parte:
adesso prendimo il dielettrico e togliamo il cilindro, $\vec{E}_c$ \`e il
campo in presenza della cavit\`a mentre $\vec{E}_b$ \`e il campo della
cavit\`a. Si ha che
\begin{equation}
\vec{E}_c = \vec{E} - \vec{E}_b
\end{equation}
ricordando che $\vec{E}_b = -\frac{\vec{P}}{3 \epsilon_0}$ si ha che il
campo nella cavit\`a risulta
\begin{equation}
\vec{E}_c => \vec{E}  + \frac{\vec{P}}{3 \epsilon_0} = \vec{E} \left( 1
+ \frac{\chi}{3} \right) = \vec{E} \frac{\chi + 2}{3}
\end{equation}


Possiamo riassumere i tre casi che abbiamo visto;
\begin{equation}
\vec{E}_c = \vec{E} + \frac{\gamma \vec{P}}{\epsilon_0}
\end{equation}
dove 
\begin{equation}
\{ \\
\gamma =0 \\
\gamma = 1 \\
\gamma = \frac{1}{3}
\end{equation}
nei 3 casi che non ricordo, forse:
-cilindro orizzontale
-cilindro verticale
-sfera


\subsection{Polarizzazione elettronica di un gas o un liquido}

Supponiamo di essere in presenza di un campo elettrico locale.

Per la legge di gauss deve essere che
cio\'e
\begin{equation}
4 \pi r^2 \vec{E}_- = \frac{4}{3} \frac{\pi r^3}{\epsilon_0} \rho_-
\end{equation}
allora si ricava
\begin{equation}
\vec{E}_- = \hat{r} \frac{r}{3 \epsilon_0} \rho_-
\end{equation}
l'equilibrio si raggiunge quando i due campi si bilanciano
\begin{equation}
\vec{E}_{loc} + \vec{E}_- = 0
\end{equation}
quando
\begin{equation}
\vec{P}_0 = Z e \vec{x} = 4 \pi \epsilon_0 R^3 \vec{E}_{loc}
\end{equation}

$n$ \`e il numero di particelle per per unit\`a di volume
\begin{equation}
n = \frac{N}{V}
\end{equation}
allora il momento di dipolo
\begin{equation}
vec{P} = n \vec{p}_a = n 4 \pi R^3 \epsilon_0 \vec{E}_{loc} = 
n \alpha_e \epsilon_0 \vec{E}_{loc}
\end{equation}
dove
\begin{equation}
\alpha_e = n 4 \pi R^3
\end{equation}
nel caso del gas si ha $\vec{E}_{loc} \approx \vec{E}$ e allora si ha
\begin{equation}
\vec{P} = n \alpha_e \epsilon_0 \vec{E} = \chi \epsilon_0 \vec{E}
\end{equation}
dove
\begin{equation}
\chi = n \alpha_e = n 4 \pi R^3
\end{equation}

non so perch\`e ma si trova che
\begin{equation}
n = \frac{\rho N_A}{m N_A} = \frac{N_A \rho}{M}
\end{equation}

ho perso qualche formula...

la sciuscettivit\`a per un gas vale
\begin{equation}
\chi = \frac{n P^2}{3 \epsilon_0 k_B T}
\end{equation}

?????
\begin{equation}
\chi_{tot} = \chi_e + \chi_d = n \left[4 \pi R^3 + \frac{P_0^2}{3
\epsilon_0 k_B T} \right]
= n \left[ \alpha_e + \alpha_d \right]
\end{equation}

adesso vediamo il caso di un liquido in cui $\vec{E}_{log} = \vec{E}$
non \`e pi\`u una buona approssimazione.
Se abbiamo una polarizzazione uniforme del mezzo si ha che
\begin{equation}
\vec{E}_{loc}= \vec{E}_c = \vec{E} + \frac{\vec{P}}{3 \epsilon_0}
\end{equation}
dove
\begin{equation}
\vec{P} = n \alpha \vec{E}_{loc}= n \alpha \left[ \vec{E} +
\frac{\vec{P}}{3 \epsilon_0} \right]
\end{equation}
eplicitando $\vec{P}$
\begin{equation}
\vec{P}= \frac{ n \alpha}{1 -\frac{n \alpha}{3}} \epsilon_0 \vec{E} =
 \chi \epsilon_0 \vec{E}
\end{equation}
sviluppando in serie $\chi$
\begin{equation}
\chi = \frac{ n \alpha}{1 -\frac{n \alpha}{3}} =_{n \aplha << 1} n
 \alpha \left( 1 + \frac{n \alpha}{3} + \left( \frac{n \alpha}{3}
\right)^2  + \ldots \right)
\end{equation}
e si ricava la \emph{Equazione di Clausius-Massetti}
\begin{equation}
\vec{E}_c = \vec{E} \left( 1 + \frac{\chi}{3} \right) = \equiv
 \vec{E}_{loc}
\end{equation}

allora il $\chi$ del liquido risulta
\begin{equation}
\chi_l = \frac{\aplha_l n_l}{1 -\frac{\alpha_l n_l}{3}}
\end{equation}
e sfruttando il fatto che $n_l \alpha_l = \frac{n_l}{n_g} n_g \alpha_g$
riscrivo la equazione come?????

mah!

una conclusione dall'equazione di clausius-..
\begin{equation}
\frac{1}{\rho} \frac{\kappa -1}{\kappa + 2} = \frac{\alpha N_A}{3 M}
\end{equation}
\`e la parte sinistra \`e indipendente se \`e alla fase gassosa rispetto
a quella liquida.

{\bf \`e spaventoso by Roberta}

\subsection{Energia elettrostatica nei dielettrici}

Il potenziale vale
\begin{equation}
V(q) = \frac{q}{C}
\end{equation}

se faccio lavoro
\begin{equation}
dW = V(q) \, dq
\end{equation}
allora il lavoro totale vale
\begin{equation}
U_e = \int_0^q V'(q) \, dq'
\end{equation}

non mi ricordo in quale caso...
\begin{equation}
U_e = \int_0^q \frac{q'}{C} \, dq' = \frac{1}{2} C V^2
\end{equation}
e nel caso del condensatore piano
\begin{equation}
C = \frac{\epsilon_0 \Sigma}{h}
\end{equation}
che comporta che
\begin{equation}
U_e = \frac{\Sigma^2 \sigma^2 h}{2 \Sigma \epsilon} = \Sigma h
 \frac{\sigma^2}{2 \epsilon}
\end{equation}
allora
\begin{equation}
u_e= \frac{\sigma^2}{2 \epsilon} = \frac{1}{2} \epsilon E^2
\end{equation}
con
\begin{equation}
E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{E_0}{\kappa}
\end{equation}
e una versione pi\`u corretta, ma non del tutto
\begin{equation}
u_e(\vec{r}) = \frac{1}{2} \epsilon(\vec{r}) E^2(\vec{r})= \frac{1}{2}
 \vec{E} \cdot \vec{D}
\end{equation}
con
\begin{equation}
\vec{D} = \epsilon \vec{E}
\end{equation}
